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ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
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Uma sequência didática para o ensino de
polígonos: o uso de materiais manipuláveis
no quinto ano do ensino fundamental
RESUMO
Cileide Teixeira da Silva Polli
cileidewillis@gmail.com
orcid.org/0000-0001-8327-9147
Faculdade Pitágoras, Londrina, Paraná, Brasil
Helenara Regina Sampaio Figueiredo
helenara@kroton.com.br
orcid.org/0000-0001-7974-0818
Faculdade Pitágoras, Londrina, Paraná, Brasil
O presente artigo resultou de um recorte de uma pesquisa de mestrado acerca do
desenvolvimento do pensamento geométrico do aluno. O estudo teve foco no estudo dos
polígonos com o objetivo de investigar as possíveis aplicações de materiais manipuláveis no
ensino de Geometria no 5º ano do Ensino Fundamental. A metodologia adotada neste
estudo foi de natureza qualitativa, no qual apresentamos os resultados de um dos
momentos da aplicação de uma sequência didática sobre polígonos. A fundamentação
teórica se baseia em autores como Lorenzato (1995), que defende a presença da Geometria
no ensino de Matemática, a partir do argumento de que este conhecimento deve ser
construído desde a Educação Infantil, visto que auxilia na solução dos problemas do
cotidiano, os quais, muitas vezes, são geometrizados. Os resultados obtidos apontam para
a possibilidade de que os materiais manipuláveis possam potencializar a construção do
saber geométrico em alunos do 5º ano do Ensino Fundamental. Ademais, constatou-se que
o uso de materiais manipuláveis se apresenta como uma possibilidade de imprimir maior
significado à construção dos conceitos geométricos, na medida em que permitem aos
alunos manipular, comparar, recortar, pesquisar, observar e construir conceitos. Foram
ainda encontradas evidências de que esse tipo de material facilita a observação e a análise
por favorecer o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, essenciais para a construção
dos diferentes saberes matemáticos.
PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática. Geometria. Materiais manipuláveis.
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INTRODUÇÃO
O ensino de Matemática, embora tenha reconhecida importância no processo
de compreensão de mundo, nem sempre consegue contornar dificuldades que
surgem em sua prática, sejam elas no domínio do conteúdo pelos alunos ou
mesmo na metodologia adotada pelo professor.
Quanto ao domínio do conteúdo, é fato incontestável que ele se reveste de
maior significado quando o estudante se envolve em atividades cuja prioridade
está em promover seu protagonismo no processo de aquisições dos conceitos
necessários à construção dos saberes matemáticos (LORENZATO, 2006). O uso de
materiais manipuláveis permite ao aluno construir seu conhecimento por
despertar a curiosidade e incentivar a criatividade, tornando-o apto a assumir o
papel de protagonista de sua própria aprendizagem.
No que diz respeito à metodologia de ensino, os materiais didáticos
manipuláveis constituem um importante recurso didático a serviço do professor
em sala de aula. Podem tornar as aulas de Matemática mais dinâmicas e
compreensíveis, uma vez que aproximam a teoria matemática da sua constatação
na prática, por meio da ação manipulativa.
A proposição deste trabalho se ampara em autores como Lorenzato (1995),
que defendem a presença da Geometria no ensino de Matemática, afirmando que
esse conhecimento deve ser construído desde a Educação Infantil, visto que auxilia
na solução dos problemas do cotidiano, os quais, muitas vezes, são geometrizados.
Apoia-se, ainda, em Passos (2000), que aprofunda esse argumento, pois
defende a ideia de que a Geometria representa um campo de conhecimento de
extrema relevância para a inter-relação do homem com o espaço em que vive,
assumindo a posição de parte mais intuitiva e concreta da Matemática, articulada
à realidade, sendo, assim, vital para o processo de formação dos alunos.
Outra referência teórica importante é Nacarato e Passos (2003), cujo trabalho
levanta a possibilidade de o trabalho com a Geometria nos anos iniciais poder
desencadear diferentes raciocínios geométricos dos alunos, os quais podem se
transformar em importantes elementos na construção do pensamento
geométrico. No entanto, as intervenções docentes requerem um saber disciplinar
pedagógico e curricular da Geometria que nem sempre se encontra disponível nos
professores, dada sua formação inicial generalizada.
Esses posicionamentos justificam a proposição de um estudo sobre polígonos
voltado para alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, na medida em que
se entende ser importante essa relação estabelecida com os diferentes espaços de
vivência dos sujeitos. O ensino de Geometria é extremamente relevante na vida
do aluno como cidadão, uma vez que está ligada à habilidade do sujeito orientar-
se no espaço.
Neste trabalho, portanto, são investigadas as possíveis aplicações de materiais
manipuláveis no ensino de Geometria nos anos iniciais. Serão apresentados os
resultados de um dos momentos da aplicação de uma sequência didática sobre
polígonos, com ênfase para o uso de materiais manipuláveis.
Trata-se de um recorte de uma dissertação de mestrado já concluída intitulada
“Geometria no 5º ano do Ensino Fundamental: Proposição de uma sequência
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didática para o ensino de polígonos.” Foi escolhido o primeiro momento de
aplicação da sequência didática por englobar os conceitos de polígonos, objeto
central deste estudo.
O USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS NO ENSINO DE GEOMETRIA
O objeto de estudo para o qual este artigo encontra-se voltado é o ensino de
Geometria como importante conteúdo do ensino de Matemática, cuja amplitude
e relevância não podem passar despercebidas. Conforme pontua Pavanello (2004),
a Geometria tem potencialidade para desenvolver as capacidades de generalizar,
de projetar, pois ela proporciona condições aos estudantes para que alcancem
níveis sucessivos de abstração.
Na mesma direção, Lorenzato (1995) ratifica a necessidade do ensino de
Geometria a partir do argumento de que este conteúdo permite o
desenvolvimento do pensar geométrico ou ainda do raciocínio visual, importantes
componentes do desenvolvimento cognitivo. Segundo o autor, “[...] sem conhecer
Geometria, a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação
das ideias fica reduzida e a visão da matemática torna-se distorcida” (LORENZATO,
1995, p. 5)
Não obstante, na realidade de muitas instituições de ensino, essa
compreensão encontra-se distanciada da realidade, uma vez que os conteúdos
geométricos deixam de ser contemplados de maneira constante, contínua e de
maneira profunda, embora constem na proposta pedagógica dos anos iniciais.
Passos (2000, p. 49) refere-se à Geometria como sendo um dos ramos da
Matemática que tem potencial para estimular o aprendizado dessa disciplina, pois
pode oferecer oportunidades para que o estudante desenvolva habilidades
criativas. Isso ocorre quando o estudante executa atividade de ordenação,
classificação de modelos de figuras planas e de sólidos, manipula formas
geométricas em software de forma dinâmica, realiza construções com palitos ou
varetas ou faz dobraduras.
Em conformidade com as contribuições trazidas por Passos (2000), convém
frisar que, para desenvolver as atividades envolvendo Geometria, os professores
devem proporcionar aos alunos a oportunidade de manipular alguns objetos.
Dessa forma, os alunos começam a perceber suas características, potencializando
o estabelecimento de relações básicas e necessárias para entender os conceitos
geométricos.
Na mesma linha de pensamento, podem ser apontadas as considerações
elaboradas por Dante (2006, p. 34-35), quando esclarece que a Geometria nas
séries iniciais deve ser manipulativa, ou experimental. Manipulando objetos ou
embalagens, o aluno tem a possibilidade de descobrir diferenças e semelhanças
entre eles e diante desse fazer ele descobre, nesses objetos, seus elementos, suas
características e propriedades.
Conforme ainda Dante (2005, p. 60), “Devemos criar oportunidades para as
crianças usarem materiais manipuláveis [...] A abstração de ideias tem sua origem
na manipulação e atividades mentais a ela associados”. Isso confirma a
necessidade de um trabalho mais intenso com os materiais manipuláveis no ensino
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de Geometria, pois é preciso efetuar a passagem de uma representação para
outra, ou seja, do concreto para o abstrato.
Salienta-se que muitas das dificuldades encontradas no ensino de Matemática
podem estar relacionadas a falhas nesse processo de abstração de ideias. Assim, o
uso de materiais didáticos adequados pode se mostrar uma das respostas a tais
entraves no processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina.
Lorenzato (2006, p. 22) acredita que “[...] para se chegar no abstrato, é preciso
partir do concreto”. Segundo ele, conforme a intenção do professor e a forma
utilizada, os materiais manipuláveis podem desempenhar diferentes funções, as
quais devem ser criteriosamente e previamente selecionadas pelo professor.
Nessa perspectiva, os materiais manipuláveis atuam como elementos de
mediação do processo de ensino e de aprendizagem, concepção apresentada por
Passos (2006, p. 78): tais recursos “[...] devem servir como mediadores para
facilitar a relação professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber
está sendo construído”.
Uma vez que a manipulação de objetos permite aos alunos perceber suas
características, potencializando a compreensão dos conceitos geométricos,
Oliveira Júnior e Miziara (2014, p. 182) entendem que os materiais concretos
ocupam, em todos os níveis de ensino, uma posição estratégica. Assim, podem
funcionar como uma ferramenta de diálogo entre os professores e os alunos, uma
vez que podem ocupar um espaço importante para que os alunos participem no
aperfeiçoamento das estratégias e compreendam os conceitos estudados.
Com ênfase nos anos iniciais do ensino, convém ponderar que os materiais
manipuláveis facilitam a observação e análise por favorecerem o desenvolvimento
do raciocínio lógico e crítico, essenciais para a construção dos diferentes saberes
matemáticos.
Pais (2013, p. 17) salienta que os materiais manipuláveis, enquanto recursos
de ensino, são criações didáticas, ou seja, “[...] são criações motivadas por supostas
necessidades do ensino para servirem como recursos para outras aprendizagens”.
Isso equivale a afirmar que a inserção dos materiais manipuláveis deve cumprir a
finalidade de levar o aluno a formar conceitos e a apropriar-se deles.
Importa, pois, considerar o que questiona Nacarato (2004/2005), ao observar
situações práticas de professores em sala de aula e constatar alguns equívocos dos
docentes, quando estes não atingem o objetivo de levar os alunos a interagir com
o material, fazendo-os perder um longo tempo com desenhos sem explorar o
material adequadamente: o uso inadequado de qualquer material manipulável
pouco ou nada contribui para a aprendizagem da Matemática.
Nesse ponto da discussão, é oportuno alertar para a prática do uso dos
materiais manipuláveis sem o devido conhecimento ou necessário
aprofundamento sobre as finalidades de cada tipo de material. Ocorrem ainda
situações em que esses recursos são utilizados apenas de forma lúdica, sem que
sejam esgotadas todas as suas possibilidades de trabalho.
Retomando Lorenzato (2006, p. 21), este afirma que, conforme os conteúdos
matemáticos são conduzidos pelo professor, o material manipulável “[...] pode ser
um excelente catalisador para o aluno construir o seu saber matemático”. Essa
ideia é reforçada por Jesus e Fini (2005), pois apontam para a possibilidade de que
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todos os recursos ou materiais de manipulação que visam atrair os alunos para um
aprendizado de Matemática possam ser utilizados como catalisadores com vistas
a aumentar a motivação e estimular os alunos a uma aprendizagem com mais
qualidade.
Além da melhora na atenção e na concentração, mencionada pelos autores,
deve-se ressaltar o envolvimento dos alunos no processo de construção dos
saberes geométricos, estimulados pela observação e manipulação de diferentes
materiais.
No entanto, sabe-se que a mera utilização dos materiais manipuláveis não
garante a aprendizagem de tais saberes. Nessa perspectiva, o papel do professor
reveste-se de maior importância, tanto na escolha do material adequado a cada
situação de aprendizagem, quanto durante a atividade manipulativa.
Passos (2006) defende a ideia de que o aluno não aprende Matemática
simplesmente manipulando objetos, sendo imprescindível a realização de uma
atividade mental por parte desse aluno. Faz-se ainda necessária a mediação do
professor, a partir do estabelecimento de reflexões sobre a ação manipulativa, as
quais, por sua vez, permitem ao aluno o reconhecimento de relações que o levem
a pensar, analisar e agir.
No entendimento de Dante (2005), é necessário que sejam desenvolvidas nos
estudantes, habilidades para desenvolver seu raciocínio lógico, para que façam uso
inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, elaborando, assim, soluções
favoráveis às questões que surgem no seu cotidiano. Dessa forma, os conceitos
geométricos podem ser construídos pelos alunos a partir de uma ação
interiorizada, mas, também, conforme aponta Passos (2010), pelo significado que
estes atribuem às ações, pelas formulações que enunciam e pelas verificações que
realizam.
Uma vez evidenciada a importância do uso de materiais manipuláveis no
ensino de Geometria, no tópico a seguir, discorre-se sobre algumas espécies
desses materiais.
MATERIAIS MANIPULÁVEIS: DE PAPÉIS E PALITOS À CONSTRUÇÃO DE
GEOPLANOS
Na realização das atividades referentes ao ensino de Geometria para os anos
iniciais, podem ser utilizados diferentes materiais manipuláveis, tais como canudos
de plástico e palitos de dente, massa de modelar e barbante para construção dos
polígonos. Papéis de diferentes cores e espessuras, caixas de diferentes tamanhos
e malhas quadriculadas também compõem a lista dos materiais disponíveis para a
montagem de figuras geométricas, visando à representação de figuras planas.
Buscando traçar o percurso de utilização desse tipo de material, Godoy e
Guirado (2009) mencionam que educadores famosos já evidenciavam, desde o
século XIV, a importância do uso de material manipulável. Assim, Comenius (1592-
1670) defendia a ideia de que a aprendizagem tem início pelos sentidos, pois as
impressões sensoriais obtidas através da experiência com objetos seriam
internalizadas e, mais tarde, interpretadas pela razão. Por esse viés, corrobora-se
a percepção de que o ensino da Matemática deve se dar do concreto para o
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abstrato, posição também reconhecida por Pestalozzi (1746-1827) e Froebel
(1782-1852), quando reconhecem a importância dos materiais manipuláveis.
Não obstante, entende-se que a mera presença desses materiais em sala de
aula não garante a aprendizagem, uma vez que a construção do conhecimento
matemático não ocorre apenas pela manipulação dos objetos. É importante que o
professor proponha questões adequadas, que levem o aluno a observar os
aspectos do material relevantes para a construção dos conceitos.
Essa mesma percepção pode ser vislumbrada em Camacho (2012). A autora
salienta que os materiais manipuláveis são objetos didáticos intuitivos e dinâmicos
que visam à compreensão de diversos conceitos. Em qualquer fase do
desenvolvimento escolar, podem conduzir ao processo de descoberta, pois, em
contato direto com esse tipo de material, o aluno tem condições de explorar e
investigar situações, aprendendo a comunicar-se, a raciocinar e a resolver
situações problemas de uma forma mais natural e clara.
No processo de descoberta de que trata Camacho (2012), encontra-se a maior
justificativa para o uso de materiais manipuláveis, na medida em que são objetos
lúdicos, dinâmicos e intuitivos, colaborando como apoio para que os estudantes
possam atingir o grau de abstração necessário para a formação de conceitos
matemáticos e/ou geométricos.
É importante salientar que o uso de materiais concretos/manipuláveis pode
proporcionar muitos benefícios, como, por exemplo, desenvolver capacidades e
atitudes que propiciem um maior envolvimento com a própria aprendizagem.
Espera-se que, a partir da utilização adequada dos materiais manipuláveis, os
estudantes possam buscar novos caminhos para a observação, procura e reflexão
e que promovam um envolvimento ativo ao estruturar seus próprios conceitos.
Também sob a perspectiva de Rêgo e Rêgo (2010, p. 43), por meio da
manipulação de materiais, "[...] os alunos ampliam sua concepção sobre o que é,
como e para quê aprender matemática, vencendo os mitos e preconceitos
negativos, favorecendo a aprendizagem pela formação de ideias e modelos”.
É possível sinalizar, ainda, para uma potencial melhora do raciocínio
matemático, na medida em que os materiais manipuláveis permitem desenvolver
os aspectos cognitivos e psicomotores, transformando o ensino-aprendizagem da
Matemática em uma prática dinâmica, intuitiva e desafiante.
Lorenzato (2010) frisa que os materiais manipuláveis constituem uma variação
dos materiais didáticos e estabelece distinção entre os materiais manipuláveis
estáticos e os dinâmicos. No primeiro grupo, situam-se os materiais que não
possibilitam modificações em suas formas, como os sólidos geométricos
construídos em madeira ou cartolina, o ábaco, o material montessoriano
(cuisenaire ou dourado) e os jogos de tabuleiro. Por sua vez, os materiais dinâmicos
são aqueles que permitem transformações por continuidade e facilitam ao aluno
a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e a construção de uma
efetiva aprendizagem.
Estendendo o rol dos materiais manipuláveis, cabe ainda observar o que
afirmam Pereira e Oliveira (2016), que entendem como materiais manipuláveis
“[...] uma folha de papel, uma régua, uma tesoura”, ou seja, todos os materiais que
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o professor pode usar para trabalhar ideias matemáticas e favorecer a elaboração
de conjecturas sobre qualquer tópico da Matemática.
Independente da espécie do material selecionado, convém ponderar que sua
escolha depende do conteúdo a ser trabalhado e, nessa dimensão, o papel do
professor mostra-se determinante. No entanto, Lorenzato (2010) reflete sobre o
fato de que uma das críticas mais frequentes ao uso dos materiais manipuláveis
refere-se ao tempo gasto para explorar adequadamente tais recursos. O autor
ressalta que o uso desse tipo de material pode inicialmente tornar o ensino mais
lento, mas, em seguida, graças à compreensão adquirida pelo aluno, o ritmo
aumentará e o tempo gasto no início será largamente recompensado em
quantidade e principalmente em qualidade.
Esse mesmo autor argumenta que os resultados da utilização de materiais
manipuláveis compensam o tempo dispendido, na medida em que potencializam
a construção do pensamento matemático dos alunos.
Destaca-se, ainda, que não existe um material específico para se trabalhar um
determinado conceito, podendo o mesmo conteúdo ser trabalhado por meio de
diferentes materiais. Sendo assim, no caso da Geometria, é possível utilizar o
geoplano, o Tangram, embalagens diversas, a régua, o esquadro e outros materiais
que também se mostram úteis para desenvolver os conceitos matemáticos.
Silva e Martins (2000) compartilham dessa visão e acrescentam que esses
materiais são fundamentais, pois ajudam a criança na passagem do concreto para
o abstrato, conforme vão sendo usados como um suporte físico em situações de
aprendizagem, na resolução de situações-problema.
O que está em evidência em relação aos materiais manipuláveis é o gosto pela
descoberta, pela experimentação e pela construção e reconstrução de conceitos.
Nesses moldes, a utilização de materiais manipuláveis no processo ensino
aprendizagem da Matemática e, de maneira mais específica, da Geometria, pode
contribuir, de fato, para a construção de experiências lúdicas, dinâmicas e
enriquecedoras.
Para Oshima, Ottesbach e Pavanello (2008), o uso de material manipulável
precisa ser objeto de um planejamento adequado, que conduza à seleção de
estratégias e ao questionamento necessário à exploração de todo seu potencial.
As autoras sugerem ainda que as atividades sejam previamente testadas para que
a manipulação do material contribua realmente para a construção dos conceitos.
Ressaltam ainda que os conhecimentos matemáticos são de natureza abstrata,
portanto a passagem de ações concreta para a elaboração dos conceitos
matemáticos deve ser contemplada com atenção pelo professor, buscando
estabelecer a correlação entre os dois domínios envolvidos, o do material concreto
utilizado e o das representações simbólico-abstratas.
A partir dos materiais manipuláveis é possível haver observação, manipulação
e exploração dos objetos reais ou próximos do real, possibilitando construção e
reconstrução, além de proporcionar a formação de conceitos geométricos
(MACIEL, 2010).
Nessa direção, a utilização de materiais manipuláveis apresenta-se como uma
necessidade para o ensino da disciplina, podendo ser mencionados jogos, tais
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como dominó, Tangram e varetas, além de outros tipos, tais como embalagens
diversas, blocos lógicos, material dourado, sólidos geométricos e geoplanos.
Conforme Passos (2010), há uma infinidade de materiais que podem ser
usados para apresentar situações que levem os alunos a conjecturar, formular
soluções, elaborar novas perguntas, descobrir estruturas, enfim fazê-los refletir,
por intermédio das atividades propostas, pois os conceitos vão sendo formados
pela ação interiorizada dos alunos sobre o material que manipulam e pelo
significado atribuído às ações.
Além disso, encontra-se em Pais (2015) a percepção de que atividades como
construir, medir, desenhar, compor e decompor, comparar e classificar figuras
geométricas mostram-se essenciais para a construção dos conceitos geométricos.
Também Dante (2006) afirma que é manipulando os objetos, como dados, esfera,
cones, tampinhas, bolinhas de gude, rolinhos de papéis e diversos tipos de
embalagens, entre outros, que o aluno descobre seus elementos, suas
caraterísticas, suas diferenças e as semelhanças, podendo assim ter arcabouço
para elencar propriedades.
Portanto, para desenvolver as atividades envolvendo Geometria, os
professores devem buscar proporcionar aos alunos a oportunidade de manipular
alguns objetos, pois, dessa forma, começam a perceber suas características,
potencializando o estabelecimento das relações básicas e necessárias para
entender os conceitos geométricos.
Um dos materiais que permitem o trabalho manipulável é o geoplano. Com
ele o aluno pode construir, desfazer e alterar facilmente suas construções,
favorecendo a exploração. Trata-se de um objeto construído em madeira, no
formato de um tabuleiro quadrangular, sobre o qual são afixados pregos, pinos ou
parafusos equidistantes entre si. Seu manuseio requer o uso de barbantes,
elásticos ou outras espécies de fios que devem ser acoplados aos pregos, formando
diversas figuras geométricas planas, com a finalidade de permitir uma flexibilidade,
para discutir suas propriedades e características.
Este é um material concebido para trabalhar diversos conceitos, que se
encontram incluídos nos temas da álgebra, da Geometria e dos números e
operações, cuja manipulação permite calcular e fazer previsões, de forma a
otimizar todo o processo de exploração e descoberta, realizados pelo próprio
aluno. Foi criado pelo matemático inglês Caleb Gattegno e é constituído por
um tabuleiro com pregos, dispostos em quadrado, formando uma espécie de
quadriculado. (CAMACHO, 2012, p. 38).
Na figura a seguir, pode ser observado um dos muitos modelos de geoplano
que podem ser construídos a partir de material de baixo custo.
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Figura 1 - Representação de polígonos no geoplano
Fonte: autoria própria (2017).
Gattegno (1967 apud FREITAS, 2004) propôs que todos os geoplanos têm
indubitável atrativo estético e podem proporcionar experiências geométricas a
crianças desde cinco anos, por meio da proposição de problemas “[...] de forma,
dimensão, de simetria, de semelhança, de teoria dos grupos, de Geometria
projetiva e métrica que servem como fecundos instrumentos de trabalho,
qualquer que seja o nível de ensino” (GATTEGNO, 1967 apud FREITAS, 2004, p. 55).
Parte-se do pressuposto de que a utilização de materiais manipuláveis se
apresenta como uma necessidade para o ensino de Matemática, conforme
sustenta Nacarato (2004/2005), que considera fundamental seu uso em qualquer
nível de ensino, por considerar que a utilização de materiais como o Tangram,
geoplano, poliminós e conjunto de sólidos geométricos podem contribuir no
processo de desenvolvimento da visualização dos alunos.
Ademais, a utilização de materiais manipuláveis não requer um custo elevado,
já que podem ser utilizados até mesmo materiais destinados à reciclagem, e as
vantagens para construção dos saberes geométricos mostram-se evidentes.
METODOLOGIA
Conforme já mencionado, este artigo representa um recorte de uma
dissertação de mestrado que utilizou como instrumento de pesquisa uma
sequência didática aplicada a alunos de um 5º ano do Ensino Fundamental I de
uma escola da rede municipal de ensino de Londrina/PR. A aplicação da sequência
didática foi realizada no primeiro semestre letivo do ano de 2017. A turma
selecionada era composta por 17 alunos, sendo 7 do sexo feminino e 10 do sexo
masculino, com idades compreendidas entre 9 e 11 anos. A previsão inicial foi de
30 aulas, distribuídas em 2 horas diárias, durante 3 dias por semana, totalizando
um período aproximado de 45 dias.
A construção da sequência didática teve como propósito a superação das
dificuldades apresentadas por alunos quanto aos conceitos e aspectos
relacionados aos polígonos. Essa sequência incluía 7 diferentes etapas,
denominadas momentos, cada qual com uma série de atividades em torno dos
conteúdos de polígonos.
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Neste artigo, optou-se por discorrer sobre os resultados do primeiro
momento, cujo objetivo foi a exploração das características dos polígonos, tendo
em vista a construção de seu conceito.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
No primeiro momento da sequência didática que constituiu a parte prática da
dissertação de mestrado, da qual derivou o presente artigo, foram utilizados
diferentes materiais manipuláveis. As cinco atividades que compuseram esse
momento tiveram como finalidade levar os alunos a descobrir as principais
propriedades definidoras dos polígonos.
Na primeira atividade, após ser entregue uma folha impressa com seis faixas
contendo diferentes tipos de figuras, os alunos, organizados em duplas, deveriam
identificar, em cada faixa, a figura que julgassem não pertencer ao conjunto das
demais.
Figura 2- Atividade de observação e reconhecimento de figuras
Fonte: adaptado de Toledo e Toledo (2009).
Na faixa 1, representando 75% do total de alunos que realizaram a atividade,
7 duplas sinalizaram o paralelogramo como figura diferente e apenas 1 grupo,
perfazendo 12,5% do total da amostra, apontou uma linha curva como diferente.
Na faixa 2, o triângulo foi apontado por 4 duplas (50%), enquanto 3 grupos
(37,5%) apontaram a figura que correspondia a 2 triângulos sobrepostos e 1 dupla
(12,5%) considerou diferente o hexágono dividido em linhas que se cruzam. Na
terceira faixa, houve apenas 1 dupla (12,5%) que não conseguiu identificar a figura
diferente, apontando a 4ª figura da faixa, que possuía curva e linha reta.
Na 4ª faixa, o pentágono irregular foi identificado como diferente por 5 grupos
(62,5%), sendo que 3 duplas (37,5%) apontaram a 2ª figura da faixa como
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diferente, composta com curvas cruzadas. Quanto à faixa 5, o losango foi apontado
corretamente por 6 grupos (75%), enquanto 2 duplas (25%) sinalizaram como
diferente a 4ª figura da faixa, composta por linhas abertas.
Na sexta faixa, 6 grupos (75%) identificaram o trapézio como diferente,
enquanto os demais grupos apontaram a 3ª figura, composta por curvas e retas.
Na sétima e última faixa, 6 duplas (75%) sinalizaram corretamente o dodecágono
irregular, enquanto 2 duplas (25%) assinalaram a 3ª figura, em que havia a
superposição de 2 quadriláteros.
Os resultados obtidos foram satisfatórios, pois, em 6 faixas, a grande maioria
dos alunos conseguiu identificar a figura diferente, sendo que apenas na 2ª faixa a
taxa de respostas adequadas ficou em 50%. O resultado não foi previsível, pois,
nessa faixa, a figura diferente seria o triângulo, cuja noção é trabalhada desde a
Educação Infantil.
Sobre a nomenclatura das figuras, grande parte das duplas não apresentou
respostas adequadas, sendo o triângulo mencionado por 4 duplas, o hexágono
identificado por apenas 1 dupla, o losango apontado por 1 dupla, enquanto o
trapézio foi reconhecido por 2 duplas. As duplas deveriam ainda explicar por que
a figura selecionada como diferente não fazia parte do grupo. As respostas dadas
foram bastante variadas. A Figura 3 demonstra as respostas de um dos grupos para
exemplificar o pensamento geométrico dos alunos.
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Figura 3 - Atividade desenvolvida por uma das duplas
Fonte: autoria própria (2017).
A dupla soube levantar as características das figuras de forma satisfatória.
Trata-se de um exemplo interessante, pois mostra que as alunas utilizaram a
visualização para comparar as figuras, o que corresponde à proposta de ensino
presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais, quando afirmam que “[...] o
pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as crianças
conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas” (BRASIL, 1997, p. 82).
As respostas sobre a nomenclatura das figuras permitiram identificar a
posição de uma das integrantes do grupo, sobretudo em relação ao trapézio, figura
reconhecida de maneira adequada pela dupla, embora menos usual que o
triângulo, a outra forma geométrica sinalizada. Quando questionadas, uma das
alunas disse que se lembrava de ter estudado no anterior.
Em muitas situações, a professora sugeriu que os alunos buscassem a opinião
dos colegas do grupo como forma de estimular o trabalho coletivo. Houve outros
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grupos que, embora tenham identificado corretamente a figura diferente, não
expressaram de forma adequada as características distintivas entre as figuras.
Na segunda parte da atividade, os alunos deveriam recortar de cada faixa a
figura considerada diferente e colar em outra folha impressa, relacionando as
características em comum.
Em relação a todas as faixas, 4 duplas, ou seja, 50% do total de alunos que
realizaram a atividade, apontaram corretamente todas as figuras diferentes em
cada grupo, apesar de terem apresentado conceitos distintos, tais como: “É que
são iguais e têm as mesmas características”; “Elas têm pontas e parece que nas
pontas têm um triângulo”; “Têm linhas retas, são todas fechadas, nenhuma tem
risco no meio”.
A discussão dessas respostas pode auxiliar na institucionalização local,
explicitada por Artigue (2009) como a fase em que o professor expõe o que é novo
a ser retido, apresentando definições, teoremas, demonstrações, apontando o que
é essencial e secundário. Dias e Mateus (2017) a denominam também de
explicitação e nela os alunos colocam em evidência os conhecimentos que
surgiram, em conflito com os que já possuíam. As contradições devem ser
resolvidas com ou sem a intervenção do professor. Ocorre, no entanto, que, no
contexto cotidiano de sala de aula, nem sempre é possível ao professor retomar a
institucionalização local para firmar os conceitos, em virtude das demandas do
tempo escolar.
No que diz respeito aos alunos que não identificaram todas as figuras
diferentes de cada faixa, foram dadas justificativas, como “Elas têm curvas e retas”;
“Porque elas têm linhas retas e bastante curva”; “Todas têm os lados retos e são
fechadas” e “Todas têm formas de triângulo”.
As justificativas encontradas permitem afirmar que as duplas não
conseguiram elaborar corretamente seu pensamento com base na visualização das
figuras. É conveniente mencionar que a professora enfatizou o fato de os alunos
poderem, ao recortarem as figuras diferentes de cada faixa, substituir alguma que
não correspondesse às demais na medida em que estava sendo formado um novo
conjunto que deveria ter características comuns. Apenas um grupo trocou uma
figura, porém o fez de maneira inadequada.
Figura 4 - Processo de realização da Atividade 1
Fonte: autoria própria (2017).
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
Diante dos resultados descritos, foi possível observar que alguns alunos não
possuíam suporte teórico para realizar essa tarefa, uma vez que ainda se
encontravam no processo de visualização e muitos não conseguiram relacionar de
forma adequada às propriedades do objeto matemático.
A socialização dos resultados permitiu a apresentação das características dos
polígonos por meio da análise das respostas dos grupos que apontaram as figuras
corretas em cada faixa. Depois, as figuras foram desenhadas no quadro e as
características de linhas retas, fechadas e que não se cruzam foram destacadas.
Em uma aula posterior, os alunos, também organizados em grupos,
procederam à construção de vários polígonos, usando 24 palitos de tamanhos
diferentes e massinha de modelar. Além disso, receberam orientação para mudar
de grupos, a fim de observar o que fora realizado pelos colegas. De volta aos grupos
originais, foram lançadas questões sobre o desenvolvimento do trabalho e foi
apresentada pela professora a noção de vértices e de ângulos.
Figura 5 - Construção de polígonos com palitos
Fonte: autoria própria (2017).
Os alunos ainda responderam sobre o número de lados nas figuras formadas
e chegaram à conclusão de que a quantidade mínima necessária era de três lados
e que não há número máximo. Após essa etapa, deveriam fazer um esboço da
figura criada, completando as informações da tabela quanto ao número de lados,
de vértices, ângulos e expressando suas concepções sobre o trabalho realizado.
As instruções foram precisas quanto ao fato de que os grupos deveriam utilizar
todos os 24 palitos e lembrar das características dos polígonos. No entanto, foram
observadas diferenças na forma de construção, pois 2 grupos construíram 4
figuras, enquanto os 2 outros grupos formaram 5 figuras, incluindo o triângulo em
sua representação. Um dos grupos merece destaque, já que os integrantes
utilizaram igual quantidade de palitos para cada figura (6 palitos), resultando em
figuras diferentes.
Dois grupos conseguiram identificar que os lados e ângulos das figuras
formadas eram iguais. Todos definiram corretamente a quantidade mínima de
lados para formar um polígono.
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
Para finalizar esse momento, em outra aula, foram distribuídas figuras
diversificadas aos grupos, sendo solicitado que classificassem em polígonos e não
polígonos. Os alunos confeccionaram cartazes e acrescentaram uma definição de
polígono após pesquisa em dicionários de diferentes autores. A atividade permitiu
fixar as características dos polígonos e ficou claro que as dúvidas com relação à
necessidade de haver apenas linhas retas permaneciam.
Figura 6 - Atividade com polígonos e não polígonos
Fonte: autoria própria (2017).
Os alunos demonstraram dificuldade especificamente em relação a duas
figuras ( ). Várias duplas não as classificaram como polígonos,
necessitando de intervenção para observar que eram figuras formadas por linhas
retas fechadas e que não se cruzam, portanto, tratava-se de polígonos. Assim,
apesar da ênfase dada ao processo visual, foi preciso institucionalizar a noção de
polígono.
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
Figura 7 - Processo de elaboração de cartazes pelas duplas
Fonte: autoria própria (2017).
A pesquisa em dicionário também representou uma dificuldade, mas foi
transposta com o auxílio da professora. Os cartazes elaborados pelas equipes
foram afixados em painel no corredor da escola.
Concluindo o primeiro momento da sequência didática, foi possível observar
que o objetivo inicial de levar os alunos a observar e representar as características
dos polígonos foi cumprido de forma satisfatória, sendo observada, porém, a
necessidade de maior aprofundamento sobre suas propriedades.
Diante dos resultados do primeiro momento da sequência didática, ressalta-
se a importância de utilização de metodologias adequadas, conforme postulam
Lorenzato (1995) e Pavanello (1993), na medida em que as atividades que
constituíram a etapa em questão permitiram aos alunos manipular, comparar,
recortar, pesquisar, observar e construir o conceito de polígonos.
Reitera-se, assim, a multiplicidade de situações que envolvem o estudo dos
polígonos como um componente curricular que pode contribuir para a construção
do pensamento geométrico dos alunos. Ao término do primeiro momento,
convém ressaltar que os alunos evidenciaram grande interesse pelas atividades
desenvolvidas e confirmaram o que afirma Fainguelernt (1999): a Geometria
constitui um campo da Matemática que propicia a abstração de mundo, necessária
para o desenvolvimento do pensamento geométrico.
Entretanto, nem todos os alunos da turma em que foi aplicada a sequência
didática apresentaram o nível de abstração necessário para a compreensão do
conceito de polígonos, razão pela qual se confirma a importância de explorar os
materiais manipuláveis nas atividades cotidianas em sala de aula, não esquecendo
a passagem do concreto para o abstrato.
Finalizando esse momento, é possível ratificar a importância de um trabalho
com materiais manipuláveis para a construção dos conceitos geométricos, em
conformidade com o pensamento de Fainguelernt (1999, p. 49), quando pontua
que “A Geometria exige do aprendiz uma maneira específica de raciocinar, uma
maneira de explorar e descobrir [...]”.
Trata-se, pois, de um caminho para desenvolver o pensamento espacial e o
raciocínio ativado pela visualização, recorrendo à intuição, à percepção e à
representação, habilidades essenciais para a leitura do mundo (FAINGUELERNT,
1999).
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
A partir dessa perspectiva, é possível confirmar a relevância do
desenvolvimento de um trabalho com materiais manipuláveis, tendo em vista a
possibilidade de desenvolvimento do pensamento espacial e do raciocínio.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho, cujo objetivo geral consistiu em investigar as possíveis
aplicações de materiais manipuláveis no ensino de Geometria nos anos iniciais,
apresenta-se como um recorte de uma pesquisa maior, que buscou ver o
desenvolvimento do pensamento geométrico do aluno.
Quanto à utilização dos materiais manipuláveis no ensino de Geometria, os
autores que sustentam esta revisão bibliográfica confirmam a grande contribuição
desses materiais para a construção do conhecimento, uma vez que os conceitos
geométricos podem ser construídos pelos alunos a partir de uma ação
interiorizada, com a mediação do professor.
O uso de metodologias adequadas exige do professor tempo para preparo e
organização do material necessário, bem como requer uma mudança no
comportamento dos alunos, que passam de meros expectadores para atores do
processo de ensino aprendizagem. Observa-se, então, que dessa forma os alunos
realizam as ações e o professor assume a função de mediador da situação. Essa
mudança é necessária e vem sendo indicada por diversos pesquisadores de
Educação Matemática.
Na articulação entre os aportes teóricos que embasam este artigo e os
resultados encontrados a partir da realização das atividades que compuseram o
primeiro momento da sequência didática, foi possível constatar que o uso de
materiais manipuláveis se apresenta como uma possibilidade de imprimir maior
significado à construção dos conceitos geométricos, na medida em que permitem
aos alunos manipular, comparar, recortar, pesquisar, observar e construir
conceitos.
Foi possível ainda constatar que os materiais manipuláveis facilitam a
observação e análise por favorecerem o desenvolvimento do raciocínio lógico e
crítico, essenciais para a construção dos diferentes saberes matemáticos. Dessa
forma, parte-se da utilização desse tipo de recurso para aprimorar a aprendizagem
de Geometria e, sobretudo, para consolidar a aquisição dos conceitos da
Matemática.
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
A didactic sequence for the teaching of
polygons: the use of manipulable materials
in the fifth grade of the elementary school
ABSTRACT
This paper resulted from a master's research part on the development of the student's
geometric thinking. The study focused on the study of polygons aiming to investigate the
possible applications of manipulable materials for teaching Geometry in the 5
th
grade of
elementary school. This is a qualitative approach in which we present the results of one of
the moments when the didactic sequence on polygons was applied. The theoretical basis is
based on authors such as Lorenzato (1995), who advocates the presence of geometry for
teaching mathematics based on the argument that this knowledge must be built since child
education, since it helps in solving everyday problems, which are often geometrized. The
results point out the possibility that manipulable materials can potentiate the construction
of geometric knowledge in students of the 5
th
grade of elementary school. In addition, it
was found that the use of manipulable materials presents itself as a possibility to give
greater meaning to the construction of geometric concepts, since they allow students to
manipulate, compare, cut, search, observe and construct concepts. Evidence that this type
of material facilitates observation and analysis by favoring the development of logical and
critical reasoning, essential for the construction of different mathematical knowledge.
KEYWORDS: Mathematics teaching. Geometry. Manipulable materials.
ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398, set./dez. 2018.
AGRADECIMENTOS
Agradecemos à CAPES pela concessão da Bolsa durante o desenvolvimento desse
estudo.
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Recebido: 12 mar. 2018
Aprovado: 23 jul. 2018
DOI: 10.3895/actio.v3n3.7897
Como citar:
POLLI, C. T. da S.; FIGUEIREDO, H. R. F. Uma sequência didática para o ensino de polígonos: o uso de
materiais manipuláveis no quinto ano do ensino fundamental. ACTIO, Curitiba, v. 3, n. 3, p. 378-398,
set./dez. 2018. Disponível em: <https://periodicos.utfpr.edu.br/actio>. Acesso em: XXX
Correspondência:
Cileide Teixeira da Silva Polli
Rua Caraguatá, n. 52, Jardim Vila Ricardo, Londrina, Paraná, Brasil.
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Internacional.