Um Estudo da Aplicação Normal de Gauss
Resumo
A aplicac~ao normal de Gauss apresenta uma teoria fundamental no
estudo das superfcies regulares, pois atraves desta aplicac~ao linear podemos
obter inumeras propriedades das superfcies em uma vizinhanca de um ponto p
qualquer. Resumidamente, com a aplicac~ao de Gauss e possvel medir o qu~ao
rapidamente uma superfcie regular S se afasta de seu plano tangente TpS, nas
proximidades de um ponto p desta superfcie. Isto e feito atraves do calculo da
taxa de variac~ao em p de um campo vetorial normal unitario na vizinhanca de p.
E
interessante lembrarmos que, dada uma parametrizac~ao X de uma superfcie
regular em um ponto p 2 S, podemos escolher para cada ponto X(U), um vetor
unitario N(q), que e uma aplicac~ao diferenciavel sobre vizinhancas locais ou
sobre toda a superfcie, se esta for orientavel. Com a derivada de N, dNp, sera
possvel merdir o quanto N se afasta de N(p) em uma vizinhanca de p. No caso
das curvas, esta medida e dada por um numero, a curvatura. Alem disso, este
diferencial e uma aplicac~ao linear auto-adjunta, e servira para apresentarmos
a segunda forma fundamental de S em p.
estudo das superfcies regulares, pois atraves desta aplicac~ao linear podemos
obter inumeras propriedades das superfcies em uma vizinhanca de um ponto p
qualquer. Resumidamente, com a aplicac~ao de Gauss e possvel medir o qu~ao
rapidamente uma superfcie regular S se afasta de seu plano tangente TpS, nas
proximidades de um ponto p desta superfcie. Isto e feito atraves do calculo da
taxa de variac~ao em p de um campo vetorial normal unitario na vizinhanca de p.
E
interessante lembrarmos que, dada uma parametrizac~ao X de uma superfcie
regular em um ponto p 2 S, podemos escolher para cada ponto X(U), um vetor
unitario N(q), que e uma aplicac~ao diferenciavel sobre vizinhancas locais ou
sobre toda a superfcie, se esta for orientavel. Com a derivada de N, dNp, sera
possvel merdir o quanto N se afasta de N(p) em uma vizinhanca de p. No caso
das curvas, esta medida e dada por um numero, a curvatura. Alem disso, este
diferencial e uma aplicac~ao linear auto-adjunta, e servira para apresentarmos
a segunda forma fundamental de S em p.